1. Решите уравнение: a) x / (2x + 3) = 1 / x

Решение:

Для решения уравнения \( \frac{x}{2x+3} = \frac{1}{x} \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перенос слагаемых: Перенесем все члены уравнения в одну часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:
   \( \frac{x}{2x+3} - \frac{1}{x} = 0 \)
2. Приведение к общему знаменателю: Общий знаменатель для дробей — \( x(2x+3) \). Приведем дроби к общему знаменателю:
   \( \frac{x · x}{(2x+3) · x} - \frac{1 · (2x+3)}{x · (2x+3)} = 0 \)
   \( \frac{x^2 - (2x+3)}{x(2x+3)} = 0 \)
3. Упрощение числителя: Раскроем скобки и упростим числитель:
   \( \frac{x^2 - 2x - 3}{x(2x+3)} = 0 \)
4. Нахождение корней числителя: Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). Используем теорему Виета или формулу дискриминанта.
   По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \) и \( x_1 · x_2 = -3 \). Корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).
5. Проверка знаменателя: Убедимся, что найденные корни не обращают знаменатель в ноль:
   Для \( x = 3 \): \( 3(2 · 3 + 3) = 3(6+3) = 3 · 9 = 27 ≠ 0 \)
   Для \( x = -1 \): \( -1(2 · (-1) + 3) = -1(-2+3) = -1 · 1 = -1 ≠ 0 \)

Финальный ответ:

Ответ: $$x = 3$$, $$x = -1$$