2) \(\log_4 x + \log_4 (x+3) = 1\)

Решение:

1. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Логарифмы определены, когда их аргументы положительны: \( x > 0 \) и \( x+3 > 0 \). Из этого следует \( x > 0 \).
2. Используем свойство логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \). Получим: \( \log_4 (x(x+3)) = 1 \).
3. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному. По определению логарифма: \( x(x+3) = 4^1 \).
4. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного: \( x^2 + 3x = 4 \) \( x^2 + 3x - 4 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).
6. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3+5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). \( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3-5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).
7. Проверим корни на соответствие ОДЗ \( x > 0 \). Корень \( x_1 = 1 \) подходит. Корень \( x_2 = -4 \) не подходит, так как \( -4 \ngtr 0 \).

Ответ: \( x=1 \).