2. Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного из них 62 1/3 км/ч, что на 2 1/6 км/ч меньше скорости другого. Найдите расстояние между автомобилями через один час после начала движения.

Задание 2. Расстояние между автомобилями

Дано:

• Общее расстояние: \( S_{общ} = 240 \) км.
• Скорость первого автомобиля: \( v_1 = 62\frac{1}{3} \) км/ч.
• Разница скоростей: \( v_2 - v_1 = 2\frac{1}{6} \) км/ч.

Найти: расстояние между автомобилями через 1 час.

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
   • \( v_1 = 62\frac{1}{3} = \frac{62 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{186 + 1}{3} = \frac{187}{3} \) км/ч.
   • \( 2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{12 + 1}{6} = \frac{13}{6} \) км/ч.
2. Найдем скорость второго автомобиля: \( v_2 = v_1 + (v_2 - v_1) = \frac{187}{3} + \frac{13}{6} \) км/ч.
3. Приведём к общему знаменателю: \( v_2 = \frac{187 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{13}{6} = \frac{374}{6} + \frac{13}{6} = \frac{374 + 13}{6} = \frac{387}{6} \) км/ч.
4. Упростим скорость второго автомобиля (делится на 3): \( v_2 = \frac{387}{6} = \frac{129}{2} = 64\frac{1}{2} \) км/ч.
5. Найдем скорость сближения автомобилей: \( v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{187}{3} + \frac{129}{2} \) км/ч.
6. Приведём к общему знаменателю: \( v_{сбл} = \frac{187 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{129 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{374}{6} + \frac{387}{6} = \frac{374 + 387}{6} = \frac{761}{6} \) км/ч.
7. За 1 час автомобили проедут расстояние, равное их скорости сближения: \( S_{1 час} = v_{сбл} \times 1 \text{ час} = \frac{761}{6} \) км.
8. Найдем расстояние между автомобилями через 1 час: \( S_{ост} = S_{общ} - S_{1 час} = 240 - \frac{761}{6} \) км.
9. Приведём к общему знаменателю: \( S_{ост} = \frac{240 \cdot 6}{6} - \frac{761}{6} = \frac{1440 - 761}{6} = \frac{679}{6} \) км.
10. Переведём в смешанную дробь: \( \frac{679}{6} = 113\frac{1}{6} \) км.

Ответ: 113 1/6 км.