№ 19. Решите задачу: Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, если её основанием служит прямоугольный треугольник с катетами 36 см и 15 см, а длина бокового ребра составляет 10 см.

Решение:

1. Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.
2. Найдем площадь основания \( S_{осн} \). Основание — прямоугольный треугольник с катетами \( a = 36 \) см и \( b = 15 \) см.
3. \( S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} 36 \u0002 15 = 18 \u0002 15 = 270 \) см\(^2\).
4. Найдем площадь боковой поверхности \( S_{бок} \). \( S_{бок} = P_{осн} h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h \) — высота призмы (длина бокового ребра).
5. Сначала найдем гипотенузу \( c \) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 = 36^2 + 15^2 = 1296 + 225 = 1521 \).
6. \( c = \sqrt{1521} = 39 \) см.
7. Периметр основания \( P_{осн} = a + b + c = 36 + 15 + 39 = 90 \) см.
8. Длина бокового ребра \( h = 10 \) см.
9. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 90 \u0002 10 = 900 \) см\(^2\).
10. Теперь найдем площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \u0002 270 + 900 = 540 + 900 = 1440 \) см\(^2\).

Ответ: 1440 см\(^2\).