№ 13. На рисунке изображен график функции \( y = f'(x) \) — производной функции \( f(x) \), определенной на интервале \( (-1; 16) \). Найдите количество точек максимума функции \( f(x) \).

Решение:

Точки максимума функции \( f(x) \) соответствуют точкам, где производная \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус. На графике это соответствует случаю, когда график \( y = f'(x) \) пересекает ось абсцисс (ось X) и идет вниз.

Рассмотрим график производной \( y = f'(x) \):

• В интервале \( (-1; \text{примерно } 2) \) производная \( f'(x) > 0 \), значит \( f(x) \) возрастает.
• В точке \( x 2 \) производная равна нулю.
• В интервале \( (2; \text{примерно } 7) \) производная \( f'(x) < 0 \), значит \( f(x) \) убывает.
• В точке \( x 7 \) производная равна нулю.
• В интервале \( (7; \text{примерно } 12) \) производная \( f'(x) > 0 \), значит \( f(x) \) возрастает.
• В точке \( x 12 \) производная равна нулю.
• В интервале \( (12; 16) \) производная \( f'(x) < 0 \), значит \( f(x) \) убывает.

Точка максимума возникает там, где функция переходит от возрастания к убыванию, то есть где производная меняет знак с '+' на '-'.

На графике видно, что производная \( f'(x) \) меняет знак с '+' на '-' в точке \( x 2 \) и в точке \( x 12 \).

Ответ: 2.