19. Найдите пятизначное натуральное число, кратное 3, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Пусть пятизначное число состоит из цифр \( a, b, c, d, e \).

Условие: \( a + b + c + d + e = a \times b \times c \times d \times e \) и число делится на 3 (сумма цифр делится на 3).

Рассмотрим варианты цифр.

Если одна из цифр — 0, то произведение равно 0. Сумма цифр не может быть 0 (натуральное число). Значит, 0 не может быть среди цифр.

Если в числе есть цифра 1:

Пусть число будет 1111x. Сумма: \( 4 + x \). Произведение: \( 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times x = x \).

\( 4 + x = x \implies 4 = 0 \), что невозможно.

Рассмотрим цифры 1, 1, 1, 2, 3:

Сумма: \( 1+1+1+2+3 = 8 \).

Произведение: \( 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 3 = 6 \).

Не подходят.

Рассмотрим цифры 1, 1, 1, 1, 4:

Сумма: \( 1+1+1+1+4 = 8 \).

Произведение: \( 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 4 = 4 \).

Не подходят.

Рассмотрим цифры 1, 1, 2, 2, 2:

Сумма: \( 1+1+2+2+2 = 8 \).

Произведение: \( 1 \times 1 \times 2 \times 2 \times 2 = 8 \).

Число 11222 кратно 3? Сумма цифр 8, не делится на 3. Значит, это число не подходит.

Рассмотрим цифры 1, 1, 1, 2, 5:

Сумма: \( 1+1+1+2+5=10 \).

Произведение: \( 1 \times 1 \times 1 \times 2 \times 5 = 10 \).

Число 11125. Сумма цифр 10. Не делится на 3.

Рассмотрим цифры 1, 1, 1, 3, 3:

Сумма: \( 1+1+1+3+3 = 9 \).

Произведение: \( 1 \times 1 \times 1 \times 3 \times 3 = 9 \).

Число 11133. Сумма цифр 9, делится на 3. Значит, это число подходит.

Ответ: 11133.