12. В треугольнике АВС BC = √7 AC = 3√7, внешний угол при вершине С равен 120°. Найдите АВ.

Решение:

1. Внешний угол при вершине C равен 120°, значит, внутренний угол C равен \( 180° - 120° = 60° \).

2. Используем теорему косинусов для нахождения стороны AB:

\( AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(C) \).

\( AB^2 = (\sqrt{7})^2 + (3\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{7} \cdot \cos(60°) \).

\( AB^2 = 7 + (9 \times 7) - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \).

\( AB^2 = 7 + 63 - 21 \).

\( AB^2 = 70 - 21 = 49 \).

3. Найдём AB:

\( AB = \sqrt{49} = 7 \).

Ответ: 7.