19. (4 балла) Исследовать и построить график функции f(x)= x⁵ - 3x⁴ (область определения, множество значений, нули функции, нуль аргумента, знаки функции, четность/нечетность, экстремумы и промежутки возрастания/убывания, точки перегиба и промежутки выпуклости) А) по графику найти наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] Б) по графику найти точку в которой касательная параллельна Ох

Решение:

1. Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \) (многочлен).

2. Множество значений: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \) (многочлен нечётной степени).

3. Нули функции: \( f(x) = x^5 - 3x^4 = x^4(x - 3) \). Нули функции: \( x=0 \) (кратности 4) и \( x=3 \) (кратности 1).

4. Нуль аргумента: \( x=0 \) является нулём аргумента.

5. Знаки функции:

• При \( x < 0 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 < 0 \) => \( f(x) < 0 \).
• При \( 0 < x < 3 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 < 0 \) => \( f(x) < 0 \).
• При \( x > 3 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 > 0 \) => \( f(x) > 0 \).

6. Чётность/нечётность:

\( f(-x) = (-x)^5 - 3(-x)^4 = -x^5 - 3x^4 \). \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), значит, функция ни чётная, ни нечётная.

7. Экстремумы и промежутки возрастания/убывания:

Найдем первую производную: \( f'(x) = 5x^4 - 12x^3 = x^3(5x - 12) \).

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{12}{5} = 2.4 \).

Исследуем знаки производной:

• При \( x < 0 \): \( x^3 < 0 \), \( 5x - 12 < 0 \) => \( f'(x) > 0 \) (возрастает).
• При \( 0 < x < 2.4 \): \( x^3 > 0 \), \( 5x - 12 < 0 \) => \( f'(x) < 0 \) (убывает).
• При \( x > 2.4 \): \( x^3 > 0 \), \( 5x - 12 > 0 \) => \( f'(x) > 0 \) (возрастает).

Точка \( x = 0 \) — точка максимума.

Точка \( x = 2.4 \) — точка минимума.

8. Точки перегиба и промежутки выпуклости:

Найдем вторую производную: \( f''(x) = 20x^3 - 36x^2 = 4x^2(5x - 9) \).

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{9}{5} = 1.8 \).

Исследуем знаки второй производной:

• При \( x < 0 \): \( 4x^2 > 0 \), \( 5x - 9 < 0 \) => \( f''(x) < 0 \) (выпуклость вниз).
• При \( 0 < x < 1.8 \): \( 4x^2 > 0 \), \( 5x - 9 < 0 \) => \( f''(x) < 0 \) (выпуклость вниз).
• При \( x > 1.8 \): \( 4x^2 > 0 \), \( 5x - 9 > 0 \) => \( f''(x) > 0 \) (выпуклость вверх).

Точка \( x = 1.8 \) — точка перегиба.

График: (График не может быть построен в данном формате. Можно представить схематически, основываясь на полученных данных).

А) Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2]:

На отрезке \( [-2; 2] \), функция возрастает до \( x = 0 \), убывает до \( x = 2 \).

Вычислим значения в крайних точках и точке максимума:

\( f(-2) = (-2)^5 - 3(-2)^4 = -32 - 3(16) = -32 - 48 = -80 \).

\( f(0) = 0^5 - 3(0)^4 = 0 \).

\( f(2) = 2^5 - 3(2)^4 = 32 - 3(16) = 32 - 48 = -16 \).

Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно \( 0 \) при \( x = 0 \).

Б) Точка, в которой касательная параллельна Ох:

Касательная параллельна Ох, когда \( f'(x) = 0 \).

Мы нашли критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2.4 \).

В точке \( x = 0 \) — максимум, в точке \( x = 2.4 \) — минимум.

Ответ: А) 0; Б) x = 0 и x = 2.4