19. (4 балла) Исследовать и построить график функции f(x) = x⁵ - 3x⁴ (область определения, множество значений, нули функции, нуль аргумента, знаки функции, четность/нечетность, экстремумы и промежутки возрастания/убывания, точки перегиба и промежутки выпуклости)

Исследование функции \( f(x) = x^5 - 3x^4 \)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как является многочленом. \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
2. Нули функции: Приравняем \( f(x) \) к нулю:
   \( x^5 - 3x^4 = 0 \)
   \( x^4(x - 3) = 0 \)
   \( x_1 = 0 \) (кратности 4), \( x_2 = 3 \) (кратности 1).
3. Нуль аргумента: Это тот же нуль функции, \( x=0 \) и \( x=3 \).
4. Знаки функции:
   Тестируем интервалы:
   \( x < 0 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 < 0 \) ⇒ \( f(x) < 0 \).
   \( 0 < x < 3 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 < 0 \) ⇒ \( f(x) < 0 \).
   \( x > 3 \): \( x^4 > 0 \), \( x - 3 > 0 \) ⇒ \( f(x) > 0 \).
5. Четность/нечетность:
   \( f(-x) = (-x)^5 - 3(-x)^4 = -x^5 - 3x^4 \).
   \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \). Функция не является ни четной, ни нечетной.
6. Производная и экстремумы:
   \( f'(x) = 5x^4 - 12x^3 = x^3(5x - 12) \).
   Критические точки: \( x^3(5x - 12) = 0 \) ⇒ \( x = 0 \) (кратности 3) и \( x = \frac{12}{5} = 2.4 \).
   Исследуем знаки производной:
   \( x < 0 \): \( x^3 < 0 \), \( 5x - 12 < 0 \) ⇒ \( f'(x) > 0 \) (возрастание).
   \( 0 < x < 2.4 \): \( x^3 > 0 \), \( 5x - 12 < 0 \) ⇒ \( f'(x) < 0 \) (убывание).
   \( x > 2.4 \): \( x^3 > 0 \), \( 5x - 12 > 0 \) ⇒ \( f'(x) > 0 \) (возрастание).
   Точка \( x = 2.4 \) — локальный минимум. \( f(2.4) = (2.4)^5 - 3(2.4)^4 = (2.4)^4 (2.4 - 3) = (2.4)^4 (-0.6) \approx 1.77 \cdot (-0.6) \approx -1.06 \).
   Точка \( x = 0 \) — не является экстремумом (перегиб с касательной, параллельной оси Ox).
7. Вторая производная и точки перегиба:
   \( f''(x) = 20x^3 - 36x^2 = 4x^2(5x - 9) \).
   Точки, где \( f''(x) = 0 \): \( 4x^2(5x - 9) = 0 \) ⇒ \( x = 0 \) (кратности 2) и \( x = \frac{9}{5} = 1.8 \).
   Исследуем знаки второй производной:
   \( x < 1.8 \) (и \( x \neq 0 \)): \( 4x^2 > 0 \), \( 5x - 9 < 0 \) ⇒ \( f''(x) < 0 \) (выпуклость вверх).
   \( x > 1.8 \): \( 4x^2 > 0 \), \( 5x - 9 > 0 \) ⇒ \( f''(x) > 0 \) (выпуклость вниз).
   Точка \( x = 1.8 \) — точка перегиба.

А) Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2]:

На отрезке \( [-2; 2] \) функция возрастает до \( x=0 \), затем убывает до \( x=2 \).

• \( f(-2) = (-2)^5 - 3(-2)^4 = -32 - 3(16) = -32 - 48 = -80 \).
• \( f(0) = 0 \).
• \( f(2) = 2^5 - 3(2)^4 = 32 - 3(16) = 32 - 48 = -16 \).

Наибольшее значение на отрезке \( [-2; 2] \) равно 0 (в точке \( x=0 \)).

Б) Точка, в которой касательная параллельна Ох:

Касательная параллельна оси Ox, если \( f'(x) = 0 \).

Мы нашли критические точки \( x = 0 \) и \( x = 2.4 \).

При \( x=0 \), \( f'(0) = 0 \). В этой точке происходит смена знака функции, но не экстремум, а перегиб, касательная горизонтальна.

При \( x=2.4 \), \( f'(2.4) = 0 \). Это точка локального минимума, касательная также горизонтальна.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно 0. Касательная параллельна Ох в точках (0; 0) и (2.4; -1.06).