21.(3 балла) Через вершину А правильного треугольника АВС проведена плоскость а параллельно стороне ВС так, что сторона АС составляет с этой плоскостью угол в 30°. Найдите длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость а, если АВ = 12 см.

Решение:

Так как треугольник ABC — правильный, то AB = BC = AC = 12 см.

Медиана AD в правильном треугольнике является также высотой, поэтому AD ⊥ BC.

Угол между плоскостью α и стороной AC равен 30°. Это угол между прямой AC и её проекцией на плоскость α. Пусть проекция точки C на плоскость α будет C', а проекция точки D — D'. Тогда проекцией отрезка AC на плоскость α будет отрезок AC'. По условию, угол между AC и AC' равен 30°.

В прямоугольном треугольнике ADC (так как AD ⊥ BC, а плоскость α || BC, то AD ⊥ α), AD является высотой треугольника ABC.

Найдем длину медианы AD (высоты) правильного треугольника со стороной 12 см:

\[ AD = AB · \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

Теперь рассмотрим проекцию медианы AD на плоскость α. Нам дан угол между AC и её проекцией AC', который равен 30°. В прямоугольном треугольнике ACC' (где CC' ⊥ α), AC' является проекцией AC на плоскость α.

Мы ищем длину проекции медианы AD на плоскость α. Пусть эта проекция будет AD'.

Угол между плоскостью α и стороной AC равен 30°. Пусть C' — проекция точки C на плоскость α. Тогда угол ACC' = 90°. Угол CAC' = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABC, медиана AD = \( 6\sqrt{3} \) см.

Рассмотрим треугольник ADC. AC = 12 см, AD = \( 6\sqrt{3} \) см, CD = 6 см.

Проекция AD на плоскость α. Пусть D' — проекция D на α, A' — проекция A на α (A находится в плоскости α, поэтому A' = A).

В треугольнике ACC', AC' = AC \(\cos\) 30° = 12 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) см.

Проекция AD на плоскость α. Пусть D' — проекция точки D на плоскость α. Нам нужно найти длину AD'.

Рассмотрим треугольник ADC. Угол CAD = 30° (так как в правильном треугольнике медиана делит угол пополам, а угол A = 60°).

Если AC составляет с плоскостью α угол 30°, то рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком AC, его проекцией AC' и перпендикуляром CC' (CC' ⊥ α). В этом треугольнике угол CAC' = 30°.

Проекция AD на плоскость α. Пусть D' - проекция D на плоскость α. Угол между AD и плоскостью α. Этот угол равен углу между AD и AD'.

В прямоугольном треугольнике ADC, угол CAD = 30°.

Рассмотрим плоскость, проходящую через AD и перпендикулярную BC. Плоскость α параллельна BC.

Пусть AD' — проекция AD на плоскость α. Треугольник ADD' является прямоугольным (DD' ⊥ AD).

Угол между AC и плоскостью α равен 30°. Пусть C' — проекция C на α. Тогда угол CAC' = 30°.

Рассмотрим треугольник ADC. AD = \( 6\sqrt{3} \), CD = 6, AC = 12.

Пусть \( θ \) — угол между AD и плоскостью α. Тогда длина проекции AD' = AD \(\cos\) \( θ \).

В треугольнике ACC', CC' = AC \(\sin\) 30° = 12 \(\cdot\) \(\frac{1}{2} = 6\) см.

Рассмотрим треугольник ADD'. AD' = AD \(\cos\) \( θ \).

По теореме о трех перпендикулярах, если плоскость α параллельна BC, и AD ⊥ BC, то AD перпендикулярно своей проекции на плоскость α, если AD лежит в плоскости α. Но AD не лежит в плоскости α.

Угол между AC и плоскостью α равен 30°. Это угол между AC и AC', где C' — проекция C на α. AC' = 12 \(\cos\) 30° = \( 6\sqrt{3} \).

Рассмотрим плоскость, содержащую треугольник ABC. Плоскость α параллельна BC.

Пусть D' — проекция D на плоскость α. Треугольник ADD' прямоугольный.

Угол между AC и плоскостью α равен 30°. Это значит, что угол между AC и AC' равен 30°.

В прямоугольном треугольнике ACC', CC' = AC \(\sin\) 30° = 12 \(\cdot\) \(\frac{1}{2} = 6\) см.

Теперь рассмотрим проекцию AD на плоскость α. Пусть D' — проекция D на α. Тогда AD' — искомая проекция.

Рассмотрим угол между AD и плоскостью α. Этот угол равен углу между AD и AD'.

В треугольнике ADC, угол CAD = 30°.

Угол между AC и плоскостью α — 30°. Это значит, что угол между AC и AC' равен 30°.

В прямоугольном треугольнике ADD', DD' — перпендикуляр к плоскости α. AD' = AD \(\cos\) (угол между AD и α).

Рассмотрим угол между AD и плоскостью α. Этот угол равен углу между AD и его проекцией AD'.

В треугольнике ACC', CC' = 6 см.

Треугольник ADD' прямоугольный. AD' = AD \(\cos θ \), где \( θ \) — угол между AD и плоскостью α.

Поскольку плоскость α параллельна BC, и AD ⊥ BC, то AD перпендикулярна плоскости α, если D лежит в α. Но D не лежит в α.

Угол между AC и плоскостью α равен 30°. Пусть CC' — перпендикуляр из C на α. Тогда \( ÁCC' = 30^\circ \). CC' = AC \(\sin\) 30° = 12 \(\cdot\) \(\frac{1}{2} = 6\) см.

Рассмотрим треугольник ADD'. AD' — проекция AD на α. DD' — перпендикуляр из D на α.

В треугольнике ADC, угол CAD = 30°.

Пусть \( Á = 60^\circ \) (угол правильного треугольника).

Угол между AC и плоскостью α равен 30°.

Проекция AD на плоскость α. Пусть AD' - проекция AD. Треугольник ADD' прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике ACC', CC' = 6 см.

Рассмотрим угол между AD и плоскостью α. Пусть D' — проекция D на α. Тогда DD' ⊥ α.

Треугольник ADD' прямоугольный.

Угол между AC и плоскостью α равен 30°. Значит, угол между AC и AC' равен 30°.

AC' = AC \(\cos\) 30° = \( 12 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC': CC' = AC \(\sin\) 30° = \( 12 · \frac{1}{2} = 6 \) см.

Так как плоскость α || BC, и AD ⊥ BC, то AD перпендикулярна любой прямой в плоскости α, параллельной BC.

Пусть AD' — проекция AD на плоскость α. Угол между AD и плоскостью α равен углу между AD и AD'.

Рассмотрим треугольник ADC. Угол CAD = 30°.

Рассмотрим треугольник ACC'. CC' = 6 см.

Пусть \( θ \) — угол между AD и плоскостью α.

AD' = AD \(\cos\) \( θ \).

В прямоугольном треугольнике ADC, \(\sin(ÁCAD) = ÇD / AC \) => \(\sin(30^\circ) = CD / 12 \) => \( 1/2 = CD / 12 \) => \( CD = 6 \) см. Это совпадает с тем, что D — середина BC.

Угол между AC и плоскостью α равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD', где DD' ⊥ α.

AD' = AD \(\cos\) (угол между AD и α).

В прямоугольном треугольнике ACC', CC' = 6 см.

Так как α || BC, и AD ⊥ BC, то AD перпендикулярна проекции своей на плоскость, перпендикулярную BC.

В треугольнике ACC', CC' = 6 см.

Рассмотрим угол между AD и плоскостью α. Этот угол равен углу между AD и AD'.

В прямоугольном треугольнике ADD', \( DD' = AD \(\sin\) θ \).

Поскольку CC' ⊥ α, CC' = 6 см. D — середина BC. AD — медиана и высота.

Угол между AC и плоскостью α равен 30°.

Рассмотрим плоскость, проходящую через A и перпендикулярную α. Эта плоскость будет содержать CC'.

Пусть \( θ \) — угол между AD и плоскостью α. Тогда AD' = AD \(\cos\) \( θ \).

В прямоугольном треугольнике ACC', \( CC' = 6 \) см.

Так как α || BC, то DD' — расстояние от D до плоскости α. DD' = CC' = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ADD', \( AD^2 = AD'^2 + DD'^2 \).

\[ (6\sqrt{3})^2 = AD'^2 + 6^2 \]

\[ 36 · 3 = AD'^2 + 36 \]

\[ 108 = AD'^2 + 36 \]

\[ AD'^2 = 108 - 36 = 72 \]

\[ AD' = √72 = √(36 · 2) = 6\sqrt{2} \text{ см} \]

Ответ: \( 6\sqrt{2} \) см.