19.(3 балла) Найдите наибольшее значение функции y=12√2cosx+12x-3π +9 на отрезке [0; π/2].

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции \( y = 122x + 12x - 3 + 9 \) по переменной x.
2. Шаг 2: \( y' = rac{d}{dx}(122x) + rac{d}{dx}(12x) - rac{d}{dx}(3) + rac{d}{dx}(9) \).
3. Шаг 3: \( y' = 122(-x) + 12 - 0 + 0 \) \( y' = -122x + 12 \).
4. Шаг 4: Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -122x + 12 = 0 \).
5. Шаг 5: \( 122x = 12 \) \( 2x = 1 \) \( x = rac{1}{2} \).
6. Шаг 6: Находим значение x, для которого \( x = rac{1}{2} \). Это \( x = rac{}{4} \) или \( x = rac{7}{4} \).
7. Шаг 7: Проверяем, попадает ли найденная критическая точка \( x = rac{}{4} \) на отрезок \( [0, rac{}{2}] \). Да, \( rac{}{4} ∈ [0, rac{}{2}] \).
8. Шаг 8: Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка.
9. Шаг 9: На левом конце отрезка \( x = 0 \): \( y(0) = 1220 + 12(0) - 3 + 9 = 12  1 + 0 - 3 + 9 = 12 - 3 + 9 = 21 - 3 \).
10. Шаг 10: В критической точке \( x = rac{}{4} \): \( y(rac{}{4}) = 122rac{}{4} + 12(rac{}{4}) - 3 + 9 \) \( = 12  rac{2}{2} + 3 - 3 + 9 = 62 + 9 = 62 + 9 \).
11. Шаг 11: На правом конце отрезка \( x = rac{}{2} \): \( y(rac{}{2}) = 122rac{}{2} + 12(rac{}{2}) - 3 + 9 \) \( = 12  0 + 6 - 3 + 9 = 3 + 9 \).
12. Шаг 12: Сравним полученные значения: \( 21 - 3 ≈ 21 - 3  3.14 = 21 - 9.42 = 11.58 \) \( 62 + 9 = 6 1.414 + 9 ≈ 8.484 + 9 = 17.484 \) \( 3 + 9 ≈ 3  3.14 + 9 = 9.42 + 9 = 18.42 \).
13. Шаг 13: Наибольшее значение равно \( 3 + 9 \).

Ответ: $$3 + 9$$