12. (1 балл) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна 8, а cos A = √7/4. Найдите высоту, проведенную к основанию.

Краткая запись:

• Треугольник ABC — равнобедренный
• AC — основание
• AB = 8
• cos A = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
• Найти: высоту BH — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где BH — высота, AB — гипотенуза, AH — катет. По определению косинуса, \( \cos A = \frac{AH}{AB} \).
2. Шаг 2: Подставим известные значения: \( \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{AH}{8} \).
3. Шаг 3: Найдем длину отрезка AH: \( AH = 8 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7} \).
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике ABH найдем высоту BH, используя теорему Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
5. Шаг 5: Подставим значения: \( 8^2 = (2\sqrt{7})^2 + BH^2 \) \( 64 = 4  7 + BH^2 \) \( 64 = 28 + BH^2 \).
6. Шаг 6: Найдем BH²: \( BH^2 = 64 - 28 = 36 \).
7. Шаг 7: Извлечем квадратный корень: \( BH = \sqrt{36} = 6 \).

Ответ: 6