18. В восьми ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно и меньше 130? Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть \( K_i \), \( S_i \), \( B_i \) — количество красных, синих и белых шаров в \( i \)-м ящике, соответственно. \( i = 1, 2, ..., 8 \).

Общее количество шаров: \( N = \sum_{i=1}^8 (K_i + S_i + B_i) \).

По условию:

1. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках: \( S_i = \sum_{j \neq i} B_j \).
2. Число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках: \( B_i = \sum_{j \neq i} K_j \).

Суммируем первое условие по всем \( i \): \( \sum_{i=1}^8 S_i = \sum_{i=1}^8 \sum_{j \neq i} B_j \). Левая часть — общее число синих шаров \( S \). Правая часть — это сумма всех белых шаров, но каждый шар \( B_j \) учитывается 7 раз (поскольку \( j \neq i \) для 7 других \( i \)). Значит, \( S = 7 \sum_{j=1}^8 B_j = 7B \), где \( B \) — общее число белых шаров.

Суммируем второе условие по всем \( i \): \( \sum_{i=1}^8 B_i = \sum_{i=1}^8 \sum_{j \neq i} K_j \). Левая часть — общее число белых шаров \( B \). Правая часть — это сумма всех красных шаров, но каждый шар \( K_j \) учитывается 7 раз. Значит, \( B = 7 \sum_{j=1}^8 K_j = 7K \), где \( K \) — общее число красных шаров.

Итак, мы имеем: \( S = 7B \) и \( B = 7K \).

Общее количество шаров \( N = K + S + B \). Подставим \( B = 7K \) в \( S = 7B \): \( S = 7(7K) = 49K \).

Теперь выразим \( N \) через \( K \): \( N = K + 49K + 7K = 57K \).

Мы знаем, что \( N \) — чётное число и \( N < 130 \). Значит, \( 57K < 130 \).

Если \( K=1 \), то \( N = 57 \times 1 = 57 \) (нечётное).

Если \( K=2 \), то \( N = 57 \times 2 = 114 \). Это число чётное и меньше 130.

Следовательно, \( K=2 \), \( B = 7 \times 2 = 14 \), \( S = 7 \times 14 = 98 \). Общее количество шаров \( N = 2 + 98 + 14 = 114 \).

Проверим, можно ли распределить шары по ящикам. Например, в каждом ящике по 1 белому шару (всего 8 белых, что не соответствует 14). Значит, такое распределение невозможно, но вопрос стоит о общем количестве шаров.

Ответ: 114.