18. Катер прошел из пункта A по озеру 5 км, затем развернулся и двигался под углом 30° к первоначальной траектории до тех пор, пока направление к пункту A не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какой путь он прошел?

Пусть длина второго участка пути равна \(l\). После разворота катер движется под углом \(150^\circ\) к первоначальному направлению.

Условие перпендикулярности направления к пункту A и направления движения означает, что проекция полного перемещения на направление второго движения равна нулю:

\(5\cos150^\circ+l=0\).

Так как \(\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\), получаем:

\(l=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4.33\) км.

Модуль перемещения равен перпендикулярной составляющей первого участка:

\(R=5\sin30^\circ=2.5\) км.

Полный путь:

\(L=5+\frac{5\sqrt3}{2}\approx9.33\) км.

Ответ: перемещение — 2.5 км; путь — \(5+\frac{5\sqrt3}{2}\) км \(\approx9.33\) км.