18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций y= 2-x² и y = x и при помощи интеграла найдите ее площадь.

Решение:

1. Найдём точки пересечения графиков функций:

   Приравняем уравнения:

   \( 2 - x^2 = x \)

   Перенесём всё в одну часть:

   \( x^2 + x - 2 = 0 \)

   Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

   \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

   \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)

   Найдём соответствующие значения \( y \):

   При \( x = 1 \): \( y = 1 \) (или \( y = 2 - 1^2 = 1 \)). Точка пересечения: \( (1; 1) \).

   При \( x = -2 \): \( y = -2 \) (или \( y = 2 - (-2)^2 = 2 - 4 = -2 \)). Точка пересечения: \( (-2; -2) \).

2. Определим, какая функция является верхней, а какая нижней на интервале пересечения \( [-2; 1] \):

   Возьмём пробную точку, например \( x = 0 \).

   Для \( y = 2 - x^2 \): \( y = 2 - 0^2 = 2 \).

   Для \( y = x \): \( y = 0 \).

   Так как \( 2 > 0 \), функция \( y = 2 - x^2 \) является верхней, а \( y = x \) — нижней.

3. Вычислим площадь фигуры с помощью интеграла:

   Площадь \( S \) равна интегралу от разности верхней и нижней функций по пределам интегрирования (точкам пересечения):

   \( S = \int_{-2}^{1} ((2 - x^2) - x) dx \)

   \( S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx \)

   Найдем первообразную:

   \( S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \)

   Подставим верхний и нижний пределы:

   \( S = \left( 2(1) - \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} \right) \)

   \( S = \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} \right) \)

   \( S = \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right) \)

   \( S = \left( \frac{12 - 3 - 2}{6} \right) - \left( -6 + \frac{8}{3} \right) \)

   \( S = \frac{7}{6} - \left( \frac{-18 + 8}{3} \right) \)

   \( S = \frac{7}{6} - \left( \frac{-10}{3} \right) \)

   \( S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \)

   Приведём к общему знаменателю:

   \( S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} \)

   Сократим дробь:

   \( S = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: \( S = 4.5 \).