16. (3 балла) Решите уравнение. \( \sin^2x + 4\cos^2x=4\cos x \)

Решение:

Заменим \( \sin^2x \) на \( 1 - \cos^2x \) из основного тригонометрического тождества:

\( (1 - \cos^2x) + 4\cos^2x = 4\cos x \)

Упростим:

\( 1 + 3\cos^2x = 4\cos x \)

Перенесём всё в одну часть:

\( 3\cos^2x - 4\cos x + 1 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\( 3t^2 - 4t + 1 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \)

Найдем корни \( t \):

\( t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)

\( t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Теперь вернёмся к замене \( t = \cos x \):

1. \( \cos x = 1 \)

\( x = 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

2. \( \cos x = \frac{1}{3} \)

\( x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.