18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций у=х+1 и y= 2x² и при помощи интеграла найдите ее площадь

Решение:

1. Построение графиков и нахождение точек пересечения:

Функция \( y = x + 1 \) — это прямая.

Функция \( y = 2x^2 \) — это парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх.

Найдем точки пересечения, приравняв функции:

\( x + 1 = 2x^2 \)

\( 2x^2 - x - 1 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \).

\( x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

Найдем соответствующие значения \( y \):

При \( x_1 = 1 \): \( y_1 = 1 + 1 = 2 \) (или \( y_1 = 2(1)^2 = 2 \)). Точка пересечения: \( (1; 2) \).

При \( x_2 = -\frac{1}{2} \): \( y_2 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \) (или \( y_2 = 2(-\frac{1}{2})^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)). Точка пересечения: \( (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \).

2. Вычисление площади фигуры с помощью интеграла:

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a; b] \), где \( f(x) \ge g(x) \) на этом отрезке, вычисляется по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \)

В нашем случае, на отрезке \( [-\frac{1}{2}; 1] \), прямая \( y = x + 1 \) находится выше параболы \( y = 2x^2 \).

\( S = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} ((x + 1) - 2x^2) dx \)

\( S = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (-2x^2 + x + 1) dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = -2\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \)

Вычислим определенный интеграл:

\( S = F(1) - F(-\frac{1}{2}) \)

\( F(1) = -2\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{-4 + 3 + 6}{6} = \frac{5}{6} \)

\( F(-\frac{1}{2}) = -2\frac{(-\frac{1}{2})^3}{3} + \frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} + (-\frac{1}{2}) \)

\( F(-\frac{1}{2}) = -2\frac{-\frac{1}{8}}{3} + \frac{\frac{1}{4}}{2} - \frac{1}{2} \)

\( F(-\frac{1}{2}) = \frac{2}{24} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \)

\( F(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \)

Приведем к общему знаменателю 24:

\( F(-\frac{1}{2}) = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} - \frac{12}{24} = \frac{2 + 3 - 12}{24} = \frac{-7}{24} \)

\( S = \frac{5}{6} - (-\frac{7}{24}) = \frac{5}{6} + \frac{7}{24} = \frac{20}{24} + \frac{7}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{9}{8} \) квадратных единиц.