15. (3 балла) Решите уравнение: (9-х²)√2 + х =0.

Решение:

Уравнение: \( (9-x^2)\sqrt{2} + x = 0 \)

Перенесем \( x \) в правую часть:

\( (9-x^2)\sqrt{2} = -x \)

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\( ((9-x^2)\sqrt{2})^2 = (-x)^2 \)

\( (9-x^2)^2 \cdot 2 = x^2 \)

Раскроем скобки:

\( (81 - 18x^2 + x^4) \cdot 2 = x^2 \)

\( 162 - 36x^2 + 2x^4 = x^2 \)

Приведем все члены к одной стороне, чтобы получить биквадратное уравнение:

\( 2x^4 - 36x^2 - x^2 + 162 = 0 \)

\( 2x^4 - 37x^2 + 162 = 0 \)

Сделаем замену переменной: \( y = x^2 \). Тогда \( y \ge 0 \).

\( 2y^2 - 37y + 162 = 0 \)

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

\( D = (-37)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 162 = 1369 - 8 \cdot 162 = 1369 - 1296 = 73 \)

Так как \( D > 0 \), найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{37 + \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{37 + \sqrt{73}}{4} \)

\( y_2 = \frac{37 - \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{37 - \sqrt{73}}{4} \)

Теперь вернемся к замене \( x^2 = y \):

\( x^2 = \frac{37 + \sqrt{73}}{4} \) или \( x^2 = \frac{37 - \sqrt{73}}{4} \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{37 + \sqrt{73}}{4}} \) или \( x = \pm \sqrt{\frac{37 - \sqrt{73}}{4}} \)

\( x = \pm \frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2} \) или \( x = \pm \frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2} \)

Важно: при возведении в квадрат мы могли получить посторонние корни. Проверим исходное уравнение \( (9-x^2)\sqrt{2} = -x \).

Для \( x = \frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2} \) и \( x = -\frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2} \) правая часть \( -x \) будет отрицательной, а левая часть \( (9-x^2)\sqrt{2} \) должна быть отрицательной. \( 9-x^2 = 9 - \frac{37 \pm \sqrt{73}}{4} \). Если \( x^2 = \frac{37 + \sqrt{73}}{4} \) (знаменатель 4, числитель больше 36), то \( x^2 > 9 \), \( 9-x^2 < 0 \). Если \( x^2 = \frac{37 - \sqrt{73}}{4} \) (знаменатель 4, числитель меньше 36), то \( x^2 < 9 \), \( 9-x^2 > 0 \).

Нужно, чтобы \( 9-x^2 \) и \( -x \) имели одинаковый знак. Это означает, что \( x \) и \( 9-x^2 \) должны иметь разные знаки.

Рассмотрим случай \( x^2 = \frac{37 + \sqrt{73}}{4} \). Здесь \( x^2 \approx \frac{37+8.5}{4} \approx \frac{45.5}{4} \approx 11.3 \). Тогда \( 9-x^2 < 0 \). Чтобы \( (9-x^2)\sqrt{2} = -x \), \( -x \) должно быть отрицательным, то есть \( x \) должно быть положительным. Это возможно. Корни \( x = \pm \frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2} \) подходят.

Рассмотрим случай \( x^2 = \frac{37 - \sqrt{73}}{4} \). Здесь \( x^2 \approx \frac{37-8.5}{4} \approx \frac{28.5}{4} \approx 7.1 \). Тогда \( 9-x^2 > 0 \). Чтобы \( (9-x^2)\sqrt{2} = -x \), \( -x \) должно быть положительным, то есть \( x \) должно быть отрицательным. Это возможно. Корни \( x = \pm \frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2} \) подходят.

Ответ: \( x = \pm \frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2} \), \( x = \pm \frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2} \).