12. (1 балл) Известно, что значение тригонометрической функции sinx= 2/3 угол π/2 < α < л. Найти значение функции cosx

Решение:

Известно, что \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Это означает, что угол \( \alpha \) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Используем основное тригонометрическое тождество:

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Подставим известное значение синуса:

\( (\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \frac{4}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9} \)

Теперь найдём \( \cos \alpha \). Так как угол \( \alpha \) находится во второй четверти, косинус будет отрицательным:

\( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \)

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \).