17 Пункты А и Б, расстояние между которыми 270 км, расположены на прямом участке железной дороги. Из пунктов А и Б одновременно по этой дороге с постоянными скоростями выехали пассажирский и грузовой поезда. Пассажирский поезд идёт с постоянной скоростью 125 км/ч, грузовой — с постоянной скоростью 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час после начала движения? Найдите все возможные варианты.

Решение:

Рассмотрим два возможных случая движения поездов.

Случай 1: Поезда едут навстречу друг другу.

1. Скорость сближения поездов: \( 125 \text{ км/ч} + 90 \text{ км/ч} = 215 \text{ км/ч} \).

2. Расстояние, которое они проедут навстречу друг другу за 1 час: \( 215 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 215 \text{ км} \).

3. Расстояние между поездами через 1 час: \( 270 \text{ км} - 215 \text{ км} = 55 \text{ км} \).

Случай 2: Поезда едут в одном направлении (из А в Б или из Б в А).

Предположим, что они оба едут из А в Б. Пассажирский поезд едет быстрее.

1. Скорость, с которой пассажирский поезд обгоняет грузовой: \( 125 \text{ км/ч} - 90 \text{ км/ч} = 35 \text{ км/ч} \).

2. За 1 час пассажирский поезд увеличит расстояние от грузового на \( 35 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 35 \text{ км} \).

3. Изначально расстояние между пунктами А и Б — 270 км. Если они едут в одном направлении, то через час расстояние между ними будет: \( 270 \text{ км} + 35 \text{ км} = 305 \text{ км} \) (если пассажирский едет из А, а грузовой из Б в том же направлении) или \( 270 \text{ км} - 35 \text{ км} = 235 \text{ км} \) (если они оба стартуют из А, но это не соответствует условию, так как они едут из пунктов А и Б).

Уточним случай 2: Поезда едут из А и Б в одном направлении. Например, оба в сторону, противоположную от Б (если А левее Б) или оба в сторону, противоположную от А (если Б левее А).

Если оба едут в направлении от Б (пассажирский из А, грузовой из Б), то через час пассажирский будет на \( 270 + 125 \times 1 = 395 \) км от начальной точки А, а грузовой на \( 270 + 90 \times 1 = 360 \) км от начальной точки А. Расстояние между ними \( 395 - 360 = 35 \) км. Это соответствует разнице скоростей. Изначальное расстояние между ними было 270 км. Значит, расстояние станет \( 270 + 35 = 305 \) км.

Если оба едут в направлении к А (пассажирский из А, грузовой из Б), то через час пассажирский будет на \( 125 \text{ км} \) от А, а грузовой на \( 270 - 90 \text{ км} = 180 \text{ км} \) от А. Расстояние между ними \( 180 - 125 = 55 \) км. Этот случай совпадает со случаем 1.

Варианты:

1. Поезда едут навстречу друг другу: расстояние между ними будет \( 55 \text{ км} \).

2. Поезда едут в одном направлении (например, оба из А в сторону Б, но грузовой стартует из Б, а пассажирский из А. Пассажирский обгоняет грузовой). Расстояние между ними будет \( 270 \text{ км} - 35 \text{ км} = 235 \text{ км} \).

3. Поезда едут в одном направлении (например, оба в направлении от Б, пассажирский из А, грузовой из Б). Расстояние между ними будет \( 270 \text{ км} + 35 \text{ км} = 305 \text{ км} \).

Ответ: 55 км, 235 км или 305 км.