17. Укажите, какой из приведенных ниже интегралов целесообразно интегрировать по частям.

Решение:

Интегрирование по частям целесообразно применять, когда подынтегральная функция является произведением двух функций, одна из которых при дифференцировании упрощается, а другая легко интегрируется. Стандартная схема:

\[ \int u dv = uv - \int v du \]

Рассмотрим предложенные интегралы:

1. \( \int 4e^{-3x+1} dx \) - это интеграл от экспоненты, который легко находится прямой подстановкой или линейной заменой, без необходимости интегрирования по частям.
2. \( \int \frac{\ln x^2}{2x} dx \) - этот интеграл может быть решен методом замены переменной. \( \frac{\ln x^2}{2x} = \frac{2 \ln x}{2x} = \frac{\ln x}{x} \). Интеграл \( \int \frac{\ln x}{x} dx \) решается заменой \( u = \ln x \), \( du = \frac{1}{x} dx \).
3. \( \int \operatorname{tg}^2 x dx \) - этот интеграл сводится к табличному, так как \( \operatorname{tg}^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - 1 \). Интеграл от \( \sec^2 x \) равен \( \operatorname{tg} x \), а интеграл от 1 равен \( x \).
4. \( \int x \ln x dx \) - это классический пример для интегрирования по частям. Здесь \( u = \ln x \) (так как его производная \( \frac{1}{x} \) проще), а \( dv = x dx \) (так как \( x \) легко интегрируется до \( \frac{x^2}{2} \)).

Ответ: 4) \( \int x \ln x dx \)