11. Найти интеграл ∫ e^4x dx

Решение:

Для нахождения интеграла \( \int e^{4x} dx \) воспользуемся заменой переменной. Пусть \( u = 4x \), тогда \( du = 4 dx \), или \( dx = \frac{1}{4} du \).

\[ \int e^{4x} dx = \int e^u \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C \]

Подставим обратно \( u = 4x \):

\[ \frac{1}{4} e^{4x} + C \]

Теперь сравним с предложенными вариантами:

1. \( 0.25e^{4x} + c = \frac{1}{4} e^{4x} + c \). Это совпадает с нашим результатом.
2. \( 4e^{4x} + c \).
3. \( 4e^{4x} + c \).
4. \( e^{4x} + c \).

Ответ: 1) \( 0.25e^{4x} + c \)