13. Найти интеграл ∫ 8dx/sin² 4x

Решение:

Воспользуемся тем, что \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha + 1 \) или \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \text{ctg}^2 \alpha \). Однако, более простой подход — использовать известную формулу интеграла \( \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\text{ctg} x + C \).

В данном случае у нас \( \sin^2(4x) \) и константа 8 в числителе.

Сделаем замену \( u = 4x \), тогда \( du = 4 dx \), значит \( dx = \frac{1}{4} du \).

\[ \int \frac{8}{\sin^2 (4x)} dx = \int \frac{8}{\sin^2 u} \frac{1}{4} du = 2 \int \frac{1}{\sin^2 u} du \]

Теперь применяем формулу интеграла:

\[ 2 \int \frac{1}{\sin^2 u} du = 2 (-\text{ctg} u) + C = -2 \text{ctg} u + C \]

Подставляем обратно \( u = 4x \):

\[ -2 \text{ctg} (4x) + C \]

Теперь сравним с предложенными вариантами:

1. \( -\text{ctg} 2x + c \)
2. \( -2\text{ctg} 4x + c \). Это совпадает с нашим результатом.
3. \( \text{ctg} 4x + c \)
4. \( 2\text{ctg} 4x + c \)
5. \( -\text{ctg}4x + c \)

Ответ: 2) \( -2\text{ctg} 4x + c \)