10. Вычислите интеграл: ∫(1 – 2x)dx

Решение:

Интегрируем подынтегральную функцию:

\[ \int (1 - 2x) dx = \int 1 dx - \int 2x dx = x - 2 \int x dx = x - 2 \frac{x^2}{2} + C = x - x^2 + C \]

Ищем среди вариантов ответ, который соответствует \( x - x^2 + C \) при заданных пределах интегрирования.

Проверим варианты:

1. \( F(x) = 1 - x^2 \). \( F(1) = 1 - 1^2 = 0 \). \( F(-1) = 1 - (-1)^2 = 0 \). \( \int_{-1}^{1} (1 - 2x) dx = [x - x^2]_{-1}^{1} = (1 - 1^2) - (-1 - (-1)^2) = 0 - (-1 - 1) = 0 - (-2) = 2 \).
2. \( F(x) = \frac{1}{4} - x^2 \). \( F(1) = \frac{1}{4} - 1^2 = -\frac{3}{4} \). \( F(-1) = \frac{1}{4} - (-1)^2 = -\frac{3}{4} \). \( \int_{-1}^{1} (1 - 2x) dx = 2 \).
3. \( F(x) = x - \frac{1}{2}x^2 \). \( F(1) = 1 - \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{1}{2} \). \( F(-1) = -1 - \frac{1}{2}(-1)^2 = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \). \( \int_{-1}^{1} (1 - 2x) dx = 2 \).
4. \( F(x) = x - x^2 \). \( F(1) = 1 - 1^2 = 0 \). \( F(-1) = -1 - (-1)^2 = -2 \).

Если пределы интегрирования от -1 до 1:

\[ \int_{-1}^{1} (1 - 2x) dx = \left[ x - x^2 \right]_{-1}^{1} = (1 - 1^2) - (-1 - (-1)^2) = 0 - (-1 - 1) = 0 - (-2) = 2 \]

Исходя из вариантов, похоже, что нужно вычислить неопределенный интеграл, и найти первообразную.

Наш неопределенный интеграл: \( x - x^2 + C \).

Рассмотрим варианты:

1. \( F'(x) = \frac{d}{dx} (1 - x^2) = -2x \neq 1 - 2x \).
2. \( F'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{1}{4} - x^2) = -2x \neq 1 - 2x \).
3. \( F'(x) = \frac{d}{dx} (x - \frac{1}{2}x^2) = 1 - x \neq 1 - 2x \).
4. \( F'(x) = \frac{d}{dx} (x - x^2) = 1 - 2x \). Это совпадает с подынтегральной функцией.

Ответ: 4) 1 (Предполагается, что вопрос подразумевает выбор первообразной, а не вычисление определенного интеграла с указанными пределами).