17) Solve for x: tan(2x) = -sqrt(3)/3

Решение:

• Найдем значение \(\alpha\), для которого \(\tan \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}\). Основной угол, тангенс которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), это \(\frac{\pi}{6}\).
• Тангенс отрицателен во второй и четвертой четвертях.
• Основной угол, тангенс которого равен -\(\frac{\sqrt{3}}{3}\), это \(-\frac{\pi}{6}\) или \(\frac{5\pi}{6}\).
• Тангенс является периодической функцией с периодом \(\pi\).
• Следовательно, \(2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
• Разделим обе части уравнения на 2:
• \[ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\)