17. Диагональ прямоугольника образует угол 68° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Пусть \( ∠ BAC = 68° \) (угол между диагональю AC и стороной AB).

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как \( AO = BO \).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( ∠ ABO = ∠ BAO = 68° \).

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол между диагоналями (угол AOB):

\( ∠ AOB = 180° - (∠ BAO + ∠ ABO) = 180° - (68° + 68°) = 180° - 136° = 44° \).

Угол AOB является тупым углом между диагоналями. Острый угол между диагоналями — это смежный с ним угол, например, угол BOC.

\( ∠ BOC = 180° - ∠ AOB = 180° - 44° = 136° \).

Упс, ошибка в логике. Угол BAC = 68°, тогда угол между диагональю и СТОРОНОЙ, а не с другой диагональю. В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в одной точке, которая является серединой обеих диагоналей. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной. Пусть угол между диагональю AC и стороной AB равен 68°. Тогда угол между диагональю AC и стороной BC равен \( 90° - 68° = 22° \).

Рассмотрим треугольник AOB, где O — точка пересечения диагоналей. \( AO = BO \) (половины равных диагоналей). \( ∠ OAB = 90° - 68° = 22° \). Следовательно, \( ∠ OBA = ∠ OAB = 22° \). Тогда угол между диагоналями \( ∠ AOB = 180° - (22° + 22°) = 180° - 44° = 136° \). Это тупой угол.

Острый угол между диагоналями равен \( 180° - 136° = 44° \). ИЛИ, если угол между диагональю и стороной равен 68°, то \( ∠ BAC = 68° \). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. \( AO = BO \). Треугольник AOB равнобедренный. Угол \( ∠ ABC = 90° \). Угол \( ∠ BAC = 68° \). Тогда угол \( ∠ BCA = 90° - 68° = 22° \). В равнобедренном треугольнике AOB, \( ∠ OAB = 68° \) — это неверно. Угол между диагональю и стороной 68°. Пусть угол между диагональю AC и стороной AB равен 68°. Тогда \( ∠ CAB = 68° \). В прямоугольном треугольнике ABC, \( ∠ ACB = 90° - 68° = 22° \). Диагонали пересекаются в точке O. \( AO = BO \). Треугольник AOB — равнобедренный. Угол \( ∠ OAB = 68° \). Тогда \( ∠ OBA = 68° \) — это неверно. Угол между стороной AB и диагональю AC равен 68°. Рассмотрим треугольник AOB. \( AO = BO \). Угол \( ∠ OAB = 68° \). Тогда \( ∠ OBA = 68° \). Угол \( ∠ AOB = 180° - (68°+68°) = 180° - 136° = 44° \). Это и есть острый угол между диагоналями. Если бы угол был 22°, то острый угол был бы \( 180° - (22°+22°) = 136° \).

Ответ: 44