17. (1 балл). Решите уравнение: 4cos x - 4 = sin²x

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \), откуда \( \sin^2x = 1 - \cos^2x \). Подставим это в уравнение:

\[ 4\cos x - 4 = 1 - \cos^2x \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ \cos^2x + 4\cos x - 5 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 4y - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

\[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \]

Вернёмся к замене \( y = \cos x \):

1. \( \cos x = 1 \)

\[ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

1. \( \cos x = -5 \)

Это уравнение не имеет решений, так как область значений косинуса — \( [-1, 1] \).

Ответ: \( x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).