17. (1 балл). Решите уравнение: 2sin²x + sin x - 1 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \).

Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^2 + y - 1 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]\[ \sqrt{D} = 3 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]\[ y_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \):

1. \( \sin x = \frac{1}{2} \)



Общее решение: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).



2. \( \sin x = -1 \)



Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( n, k \in \mathbb{Z} \).