16) Вычислите площадь фигуры (S), ограниченной линиями \( y = 1 - x^3 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \). (Збалла)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = g(x) \), \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле \( S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx \).

В данном случае \( f(x) = 1 - x^3 \) и \( g(x) = 0 \) (ось абсцисс).

Интегрирование производится от \( a = 0 \) до \( b = 1 \).

Так как на интервале \( [0, 1] \) функция \( y = 1 - x^3 \) положительна (значения \( 1 - x^3 \) от 1 до 0), то \( |1 - x^3| = 1 - x^3 \).

\( S = \int_0^1 (1 - x^3) dx \)

Проинтегрируем функцию:

\( S = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \)

Вычислим значение определенного интеграла:

\( S = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 0 - \frac{0^4}{4} \right) \)

\( S = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - (0) \)

\( S = \frac{3}{4} \).

Ответ: \(\frac{3}{4}\).