16. Найдите точки экстремума функции у=4x²-6x-7

Решение:

Точки экстремума функции находятся там, где ее производная равна нулю или не существует. Функция \( y = 4x^2 - 6x - 7 \) является многочленом, поэтому ее производная существует везде.

1. Найдем производную функции: \( y' = \frac{d}{dx}(4x^2 - 6x - 7) = 8x - 6 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 8x - 6 = 0 \).
3. Решим полученное уравнение: \( 8x = 6 \) \( x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).
4. Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума или максимума, найдем вторую производную: \( y'' = \frac{d}{dx}(8x - 6) = 8 \).
5. Так как \( y'' = 8 > 0 \), то в точке \( x = \frac{3}{4} \) находится точка минимума.
6. Найдем значение функции в этой точке: \( y\left(\frac{3}{4}\right) = 4\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{4}\right) - 7 = 4\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{18}{4} - 7 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - \frac{28}{4} = \frac{9 - 18 - 28}{4} = \frac{-37}{4} \).

Ответ: Точка минимума находится в \( x = \frac{3}{4} \), значение функции в этой точке равно \( -\frac{37}{4} \).