№ 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = 3x - 1 \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 2 \).

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_a^b |f(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = 3x - 1 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \). На интервале \( [1, 2] \) функция \( 3x - 1 \) положительна (при \( x=1 \), \( y=2 \); при \( x=2 \), \( y=5 \)), поэтому \( |3x - 1| = 3x - 1 \).

1. Вычислим определенный интеграл:
\[ S = \int_1^2 (3x - 1) dx \]

2. Проинтегрируем:
\[ S = \left[ \frac{3x^2}{2} - x \right]_1^2 \]

3. Подставим пределы интегрирования:
\[ S = \left( \frac{3(2)^2}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3(1)^2}{2} - 1 \right) \]

4. \( S = \left( \frac{3 \cdot 4}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \)
5. \( S = \left( 6 - 2 \right) - \left( \frac{1}{2} \right) \)
6. \( S = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \).

Ответ: \( S = 3.5 \) квадратных единицы.