№ 13. Найдите экстремумы функции: \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x \).

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( x^2 - 1 = 0 \) \( \implies x^2 = 1 \) \( \implies x = \pm 1 \).
3. Исследуем знак производной на интервалах:
• На интервале \( (-\infty, -1) \): Возьмем \( x = -2 \). \( f'(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-1, 1) \): Возьмем \( x = 0 \). \( f'(0) = 0^2 - 1 = -1 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (1, \infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \( f'(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
4. Следовательно, в точке \( x = -1 \) функция имеет максимум, а в точке \( x = 1 \) — минимум.
5. Найдем значения функции в этих точках:
• Максимум: \( f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) = \frac{1}{3}(-1) + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \).
• Минимум: \( f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} \).

Ответ: Максимум функции \( \frac{2}{3} \) достигается в точке \( x = -1 \). Минимум функции \( -\frac{2}{3} \) достигается в точке \( x = 1 \).