15. Дано: \( \angle 4 = 150° \). Найти: \( \angle 1, \angle 2, \angle 3 \).

Решение:

Угол \( \angle 4 \) и \( \angle 1 \) — смежные, их сумма равна 180°. Следовательно, \( \angle 1 = 180° - 150° = 30° \).

Угол \( \angle 4 \) и \( \angle 3 \) — внешние односторонние при параллельных прямых. Однако, по рисунку не видно, что прямые параллельны. Если предположить, что прямые параллельны, то \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) — односторонние, их сумма 180°. Но по рисунку \( \angle 3 \) острый, а \( \angle 4 \) тупой, что противоречит. Поэтому предположим, что \( \angle 4 \) — это внешний угол при вершине.

Если \( \angle 4 \) — внешний угол при вершине, то смежный ему угол равен \( 180° - 150° = 30° \).

Пусть \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — углы при основании треугольника. Если предположить, что треугольник равнобедренный, то \( \angle 2 = \angle 3 \).

Поскольку \( \angle 4 = 150° \) является внешним углом треугольника, то он равен сумме двух других углов треугольника: \( \angle 1 + \angle 2 \) (если \( \angle 4 \) внешний угол при вершине, где находится \( \angle 1 \)), или \( \angle 2 + \angle 3 \) (если \( \angle 4 \) внешний угол при вершине, где находится \( \angle 3 \)).

Если \( \angle 4 \) — внешний угол при вершине, где расположен угол \( 3 \), то \( \angle 3 + \angle 4 = 180° \) (смежные), \( \angle 3 = 180° - 150° = 30° \).

Из рисунка видно, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — углы при основании. Если предположить, что треугольник равнобедренный, то \( \angle 1 = \angle 2 \).

Если \( \angle 4 \) — внешний угол при вершине, где находится \( \angle 3 \), тогда \( \angle 1 + \angle 2 = \angle 4 \) (если \( \angle 4 \) — внешний угол при вершине, противоположной \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \)).

Исходя из рисунка, \( \angle 4 \) — внешний угол при одной из вершин. Пусть это вершина, где угол обозначен как \( 3 \). Тогда \( \angle 3 + \angle 4 = 180° \) (смежные углы). \( \angle 3 = 180° - 150° = 30° \).

Угол \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — углы при основании. Угол \( \angle 2 \) — угол при вершине. Если предположить, что треугольник равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \angle 1 = \angle 3 = 30° \).

Тогда \( \angle 2 = 180° - (\angle 1 + \angle 3) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120° \).

Ответ: \( \angle 1 = 30° \), \( \angle 2 = 120° \), \( \angle 3 = 30° \).