15. (3 балла) Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 24 см. меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

1. Найдем сторону ромба. Диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны друг другу. \( d_1 = 10 \) см, \( d_2 = 24 \) см. Полудиагонали равны \( \frac{10}{2} = 5 \) см и \( \frac{24}{2} = 12 \) см. Сторона ромба \( a \) находится по теореме Пифагора: \( a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) см.
2. Периметр основания: \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 13 = 52 \) см.
3. Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \) см².
4. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю ромба (5 см), боковым ребром параллелепипеда (высотой \( H \)) и диагональю параллелепипеда. Угол между меньшей диагональю ромба (5 см) и боковым ребром (H) равен 45°.
5. В этом прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 45°, равен меньшему катету (5 см). Значит, \( \tan 45^{\circ} = \frac{5}{H} \). Так как \( \tan 45^{\circ} = 1 \), то \( H = 5 \) см.
6. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 52 \cdot 5 = 260 \) см².
7. Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 260 = 240 + 260 = 500 \) см².

Ответ: 500 см².