13. (3 балла) Исследуйте функцию на монотонность: \( y = 2x^3 + 3x^2 - 4 \).

Решение:

Для исследования функции на монотонность найдём её производную и определим знаки этой производной.

1. Найдём производную функции: \( y' = (2x^3 + 3x^2 - 4)' = 6x^2 + 6x \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 + 6x = 0 \)
3. \( 6x(x + 1) = 0 \)
4. Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -1 \).
5. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 0) \), \( (0; +\infty) \).
6. Исследуем знак производной на каждом интервале:
• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( y' = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \( y' = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 6(0.25) - 3 = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 6(1)^2 + 6(1) = 6 + 6 = 12 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -1] \) и \( [0; +\infty) \), убывает на интервале \( [-1; 0] \).