15. (2 балла) Решите уравнение sin2x - sinx = 2cosx - 1.

Дано:

• Уравнение: sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1

Найти: x

Решение:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
2. Подставляем в уравнение:
3. 2sin(x)cos(x) - sin(x) = 2cos(x) - 1
4. Перенесем все члены в левую часть:
5. 2sin(x)cos(x) - sin(x) - 2cos(x) + 1 = 0
6. Сгруппируем слагаемые:
7. (2sin(x)cos(x) - 2cos(x)) - (sin(x) - 1) = 0
8. Вынесем общий множитель 2cos(x) из первой группы:
9. 2cos(x)(sin(x) - 1) - (sin(x) - 1) = 0
10. Теперь у нас есть общий множитель (sin(x) - 1). Вынесем его:
11. (sin(x) - 1)(2cos(x) - 1) = 0
12. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
13. Случай 1: sin(x) - 1 = 0
14. sin(x) = 1
15. x = π/2 + 2πn, где n - целое число.
16. Случай 2: 2cos(x) - 1 = 0
17. 2cos(x) = 1
18. cos(x) = 1/2
19. x = ± π/3 + 2πk, где k - целое число.

Ответ: x = π/2 + 2πn; x = ± π/3 + 2πk, где n, k - целые числа.