13. Вычислите интеграл: \( \int_1^2 (3x^2 + x - 4)dx \)

Решение:

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции \( 3x^2 + x - 4 \):
   \( \int (3x^2 + x - 4)dx = 3\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 4x + C = x^3 + \frac{x^2}{2} - 4x + C \)
2. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \):
   \( \left[ x^3 + \frac{x^2}{2} - 4x \right]_1^2 = \left( 2^3 + \frac{2^2}{2} - 4\cdot 2 \right) - \left( 1^3 + \frac{1^2}{2} - 4\cdot 1 \right) \)
3. Подставим значения:
   \( = \left( 8 + \frac{4}{2} - 8 \right) - \left( 1 + \frac{1}{2} - 4 \right) \)
   \( = \left( 8 + 2 - 8 \right) - \left( 1 + 0.5 - 4 \right) \)
   \( = 2 - (1.5 - 4) \)
   \( = 2 - (-2.5) \)
   \( = 2 + 2.5 = 4.5 \)

Ответ: 4.5.