13. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые ребра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Правильная треугольная пирамида имеет 3 одинаковых боковых грани — равнобедренных треугольника.

Основание каждого треугольника — сторона основания пирамиды, равная 16.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно найти высоту боковой грани (апофему пирамиды). Для этого рассмотрим боковую грань. Опустим высоту из вершины бокового ребра на основание. Эта высота делит основание пополам (16/2 = 8). У нас получился прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 (боковое ребро) и катетом 8 (половина основания).

Найдем апофему (h_a) по теореме Пифагора:

\[ h_a^2 + 8^2 = 10^2 \]

\[ h_a^2 + 64 = 100 \]

\[ h_a^2 = 36 \]

\[ h_a = 6 \]

Площадь одной боковой грани (треугольника):

\[ S_{грани} = \frac{1}{2} \times основание \times апофема = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48 \]

Площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей всех боковых граней:

\[ S_{бок. пов. } = 3 \times S_{грани} = 3 \times 48 = 144 \]

Ответ: 144