13. Решите систему неравенств

Решение:

Система неравенств:

\[ \begin{cases} 11^{2x^2+3x} > 121 \\ \log_{0,2} (2x+1) < -1 \end{cases} \]

Решаем первое неравенство:

\( 11^{2x^2+3x} > 121 \)

Так как \( 121 = 11^2 \), имеем:

\[ 11^{2x^2+3x} > 11^2 \]

Поскольку основание степени \( 11 > 1 \), показатель степени больше:

\[ 2x^2 + 3x > 2 \]

\( 2x^2 + 3x - 2 > 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \). Дискриминант \( D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \), \( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \).

Неравенство \( 2x^2 + 3x - 2 > 0 \) выполняется при \( x < -2 \) или \( x > 0.5 \).

Решаем второе неравенство:

\( \log_{0,2} (2x+1) < -1 \)

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): \( 2x+1 > 0 \) \( \Rightarrow 2x > -1 \) \( \Rightarrow x > -0.5 \).

Поскольку основание логарифма \( 0.2 < 1 \), при снятии логарифма знак неравенства меняется:

\[ 2x+1 > (0.2)^{-1} \]

\( (0.2)^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5 \).

\( 2x+1 > 5 \)

\( 2x > 4 \)

\( x > 2 \).

Объединяем решения:

Первое неравенство: \( x \in (-\infty; -2) \cup (0.5; \infty) \).

Второе неравенство (с учетом ОДЗ): \( x \in (2; \infty) \).

Решением системы будет пересечение этих множеств.

\( (-\infty; -2) \cup (0.5; \infty) \) \( \cap \) \( (2; \infty) = (2; \infty) \).

Ответ: \( x \in (2; \infty) \).