11. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро длиной 12см наклонено к плоскости основания под углом в 30°. Найдите объем этой пирамиды.

Решение:

1. В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат.
2. Пусть \( l = 12 \) см — длина бокового ребра, \( \alpha = 30^{\circ} \) — угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
3. Боковое ребро, его проекция на основание и высота пирамиды \( h \) образуют прямоугольный треугольник. Проекция бокового ребра на основание — это расстояние от вершины пирамиды до центра квадрата основания.
4. Обозначим \( d \) — расстояние от центра квадрата до вершины, тогда \( \cos \alpha = \frac{d}{l} \).
5. \( d = l \cos \alpha = 12 \cos 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.
6. \( d \) — это половина диагонали основания квадрата. Пусть \( a \) — сторона основания. Диагональ квадрата \( D = a\sqrt{2} \).
7. \( d = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
8. \( 6\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \) \( \Rightarrow a = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6} \) см.
9. Теперь найдем высоту пирамиды \( h \) из того же прямоугольного треугольника: \( \sin \alpha = \frac{h}{l} \).
10. \( h = l \sin \alpha = 12 \sin 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см.
11. Площадь основания пирамиды \( S_{\text{осн}} = a^2 = (6\sqrt{6})^2 = 36 \cdot 6 = 216 \) см².
12. Объем пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \).
13. \( V = \frac{1}{3} \cdot 216 \cdot 6 = 72 \cdot 6 = 432 \) см³.

Ответ: 432 см³.