13. Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Решение:

Площадь осевого сечения конуса \( S_{ос.сеч} = rh \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

По условию, \( S_{ос.сеч} = 60 \text{ см}^2 \), значит, \( rh = 60 \text{ см}^2 \).

Образующая конуса \( l = 13 \text{ см} \).

Связь между радиусом, высотой и образующей конуса: \( r^2 + h^2 = l^2 \).

\( r^2 + h^2 = 13^2 = 169 \).

У нас есть система уравнений:

1. \( rh = 60 \ \implies \ h = \frac{60}{r} \)
2. \( r^2 + h^2 = 169 \)

Подставим \( h \) из первого уравнения во второе:

\( r^2 + (\frac{60}{r})^2 = 169 \).

\( r^2 + \frac{3600}{r^2} = 169 \).

Умножим обе части на \( r^2 \):

\( r^4 + 3600 = 169r^2 \).

\( r^4 - 169r^2 + 3600 = 0 \).

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \( x = r^2 \):

\( x^2 - 169x + 3600 = 0 \).

Решим квадратное уравнение для \( x \) через дискриминант:

\( D = (-169)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119 \).

\( x_1 = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144 \).

\( x_2 = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25 \).

Так как \( x = r^2 \):

\( r^2 = 144 \ \implies \ r = 12 \text{ см} \) (так как радиус не может быть отрицательным).

Или \( r^2 = 25 \ \implies \ r = 5 \text{ см} \).

Проверим оба случая:

Случай 1: \( r = 12 \text{ см} \).

\( h = \frac{60}{r} = \frac{60}{12} = 5 \text{ см} \).

Проверка \( r^2 + h^2 = l^2 \): \( 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 \). Верно.

Объем конуса \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 5 = \pi \cdot 48 \cdot 5 = 240\pi \text{ см}^3 \).

Случай 2: \( r = 5 \text{ см} \).

\( h = \frac{60}{r} = \frac{60}{5} = 12 \text{ см} \).

Проверка \( r^2 + h^2 = l^2 \): \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \). Верно.

Объем конуса \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot 4 = 100\pi \text{ см}^3 \).

Обычно в таких задачах под площадью осевого сечения подразумевают сечение, где высота больше радиуса. Однако, оба варианта подходят под условие. Мы выберем первый вариант, где \( r=12, h=5 \).

Ответ: \( 240\pi \text{ см}^3 \).