№ 13. Найдите экстремумы функции: f(x) = 1/3 x³ - x.

Решение:

1. Найдем первую производную функции:
2. \( f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' \)
3. \( f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 \)
4. \( f'(x) = x^2 - 1 \)
5. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
6. \( x^2 - 1 = 0 \)
7. \( x^2 = 1 \)
8. \( x = \cdot 1 \)
9. Теперь найдем вторую производную, чтобы определить тип экстремума:
10. \( f''(x) = (x^2 - 1)' \)
11. \( f''(x) = 2x \)
12. Подставим критические точки во вторую производную:
13. Для \( x = 1 \): \( f''(1) = 2 \cdot 1 = 2 \). Так как \( f''(1) > 0 \), в точке \( x = 1 \) — минимум.
14. Для \( x = -1 \): \( f''(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \). Так как \( f''(-1) < 0 \), в точке \( x = -1 \) — максимум.
15. Найдем значения функции в точках экстремума:
16. Минимум: \( f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} \)
17. Максимум: \( f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) = \frac{1}{3}(-1) + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \)

Ответ: Максимум функции в точке \( x = -1 \), значение \( f(-1) = \frac{2}{3} \). Минимум функции в точке \( x = 1 \), значение \( f(1) = -\frac{2}{3} \).