13. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены точки А, В, С. Определите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Чтобы найти расстояние от точки А до прямой ВС, нужно провести перпендикуляр из точки А к прямой ВС и измерить его длину.

1. Определим координаты точек. Пусть левый нижний угол сетки соответствует началу координат (0,0). Тогда:

• Точка А: (3, 5)
• Точка В: (1, 1)
• Точка С: (7, 3)

2. Найдем уравнение прямой ВС.

Уравнение прямой имеет вид \( y = mx + b \).

Найдём угловой коэффициент \( m \):

\( m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - 1}{7 - 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Теперь найдём \( b \), подставив координаты точки В (1, 1) и \( m = \frac{1}{3} \):

\( 1 = \frac{1}{3} \cdot 1 + b \)

\( 1 = \frac{1}{3} + b \)

\( b = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

Уравнение прямой ВС: \( y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \).

Приведем к виду \( Ax + By + C = 0 \):

\( \frac{1}{3}x - y + \frac{2}{3} = 0 \)

Умножим на 3: \( x - 3y + 2 = 0 \).

3. Найдем расстояние от точки А(3, 5) до прямой \( x - 3y + 2 = 0 \).

Используем формулу расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \):

\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

Здесь \( x_0 = 3 \), \( y_0 = 5 \), \( A = 1 \), \( B = -3 \), \( C = 2 \).

\( d = \frac{|1 \cdot 3 + (-3) \cdot 5 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} \)

\( d = \frac{|3 - 15 + 2|}{\sqrt{1 + 9}} \)

\( d = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} \)

\( d = \frac{10}{\sqrt{10}} \)

\( d = \frac{10\sqrt{10}}{10} \)

\( d = \sqrt{10} \)

\( \sqrt{10} \approx 3.16 \)

Проверим визуально:

Прямая ВС проходит через (1,1) и (7,3). Наклон равен 2/6 = 1/3.

Если провести линию параллельно оси Y через точку А (3,5), она пересечет ВС. Если провести линию параллельно оси X через точку А (3,5), она пересечет ВС.

Построим перпендикуляр. Визуально, если провести линию через А, перпендикулярную ВС. Угол наклона ВС = 1/3. Угол наклона перпендикуляра = -3.

Уравнение перпендикуляра, проходящего через А(3,5): \( y - 5 = -3(x - 3) \) => \( y - 5 = -3x + 9 \) => \( y = -3x + 14 \).

Найдем точку пересечения прямой ВС \( y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \) и перпендикуляра \( y = -3x + 14 \).

\( \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} = -3x + 14 \)

\( x + 2 = -9x + 42 \)

\( 10x = 40 \)

\( x = 4 \)

Подставим \( x = 4 \) в \( y = -3x + 14 \):

\( y = -3(4) + 14 = -12 + 14 = 2 \).

Точка пересечения (4, 2).

Теперь найдем расстояние между А(3, 5) и (4, 2).

\( d = \sqrt{(4-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \).

\( \sqrt{10} \approx 3.16 \)

Размер клетки 1 см х 1 см. Значит, расстояние в сантиметрах.

Ответ: $$\sqrt{10}$$