124. Выясните, делится ли число а на число b без остатка, если: a) a = 2·2·2·3·5·7 и b = 2·3·7; б) a = 3·3·5·5·11 и b = 3·3·5; в) a = 3·3·5·7·13 и b = 3·5·5·13; г) a = 2·3·3·7·7 и b = 21; д) a = 2·2·3·3·3·5·7 и b = 135; e) a = 2·2·2·3·3·5·5 и b = 1000. В случае, когда а делится на b, найдите частное.

Решение:

Чтобы проверить, делится ли число \( a \) на число \( b \), нужно убедиться, что все простые множители числа \( b \) присутствуют в разложении числа \( a \) с не меньшей степенью.

• a) \( a = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \), \( b = 2 \cdot 3 \cdot 7 \). Все множители \( b \) есть в \( a \). Делится. Частное: \( 2^2 \cdot 5 = 20 \).
• б) \( a = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 \), \( b = 3^2 \cdot 5 \). Все множители \( b \) есть в \( a \). Делится. Частное: \( 5 \cdot 11 = 55 \).
• в) \( a = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 \), \( b = 3 \cdot 5^2 \cdot 13 \). Множитель \( 5 \) в \( b \) в большей степени, чем в \( a \). НЕ делится.
• г) \( a = 2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \), \( b = 21 = 3 \cdot 7 \). Все множители \( b \) есть в \( a \). Делится. Частное: \( 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 \).
• д) \( a = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \), \( b = 135 = 3^3 \cdot 5 \). Все множители \( b \) есть в \( a \). Делится. Частное: \( 2^2 \cdot 7 = 28 \).
• е) \( a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \), \( b = 1000 = 2^3 \cdot 5^3 \). Множитель \( 5 \) в \( b \) в большей степени, чем в \( a \). НЕ делится.

Ответ: Делится в случаях а, б, г, д. Не делится в случаях в, е.