12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = (3/2)x^4 - 12x^2 + 3

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума, найдем первую производную функции и приравняем её к нулю.

Исходная функция: \( y = \frac{3}{2}x^4 - 12x^2 + 3 \).

Найдем производную \( y' \):

\[ y' = \left(\frac{3}{2}x^4 - 12x^2 + 3\right)' \]

\[ y' = \frac{3}{2} · 4x^3 - 12 · 2x + 0 \]

\[ y' = 6x^3 - 24x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6x^3 - 24x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 6x \):

\[ 6x(x^2 - 4) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 6x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 4 = 0 \]

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 4 \]

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]

Критические точки: \( -2, 0, 2 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных этими точками:

1. Интервал \( (-\infty, -2) \): Возьмем \( x = -3 \). \( y'(-3) = 6(-3)((-3)^2 - 4) = -18(9 - 4) = -18(5) = -90 \). Производная отрицательна, функция убывает.

2. Интервал \( (-2, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 6(-1)((-1)^2 - 4) = -6(1 - 4) = -6(-3) = 18 \). Производная положительна, функция возрастает.

3. Интервал \( (0, 2) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = 6(1)(1^2 - 4) = 6(1 - 4) = 6(-3) = -18 \). Производная отрицательна, функция убывает.

4. Интервал \( (2, \infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = 6(3)(3^2 - 4) = 18(9 - 4) = 18(5) = 90 \). Производная положительна, функция возрастает.

Промежутки монотонности:

Убывает на \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \).

Возрастает на \( [-2, 0] \) и \( [2, \infty) \).

Точки экстремума:

В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

\( y(-2) = \frac{3}{2}(-2)^4 - 12(-2)^2 + 3 = \frac{3}{2}(16) - 12(4) + 3 = 3 \cdot 8 - 48 + 3 = 24 - 48 + 3 = -21 \).

В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

\( y(0) = \frac{3}{2}(0)^4 - 12(0)^2 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 \).

В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

\( y(2) = \frac{3}{2}(2)^4 - 12(2)^2 + 3 = \frac{3}{2}(16) - 12(4) + 3 = 24 - 48 + 3 = -21 \).

Ответ:

Промежутки монотонности:

Убывает: \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \).

Возрастает: \( [-2, 0] \) и \( [2, \infty) \).

Точки экстремума:

Минимум в точке \( x = -2 \) (значение \( y = -21 \)) и в точке \( x = 2 \) (значение \( y = -21 \)).

Максимум в точке \( x = 0 \) (значение \( y = 3 \)).