10. Решите уравнение: 2cos^2(x/2) - 5sin(x/2) = 0

Решение:

Для решения данного тригонометрического уравнения используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), откуда \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).

Подставим это в уравнение, где \( \alpha = x/2 \):

\[ 2(1 - \sin^2(\frac{x}{2})) - 5\sin(\frac{x}{2}) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 2 - 2\sin^2(\frac{x}{2}) - 5\sin(\frac{x}{2}) = 0 \]

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно \( \sin(\frac{x}{2}) \). Пусть \( t = \sin(\frac{x}{2}) \):

\[ -2t^2 - 5t + 2 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы коэффициент при \( t^2 \) был положительным:

\[ 2t^2 + 5t - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 5^2 - 4(2)(-2) = 25 + 16 = 41 \]

Найдем корни \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4} \]

\[ t_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - \sqrt{41}}{4} \]

Теперь вернемся к замене \( t = \sin(\frac{x}{2}) \).

Учтем, что значение \( \sin(\frac{x}{2}) \) должно находиться в диапазоне \( [-1, 1] \).

\( \sqrt{41} \) приблизительно равно 6.4.

\( t_1 = \frac{-5 + 6.4}{4} = \frac{1.4}{4} = 0.35 \).

\( t_2 = \frac{-5 - 6.4}{4} = \frac{-11.4}{4} = -2.85 \).

Так как \( -2.85 < -1 \), то \( t_2 = \sin(\frac{x}{2}) = \frac{-5 - \sqrt{41}}{4} \) не имеет решений.

Рассмотрим \( t_1 = \sin(\frac{x}{2}) = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4} \).

Это значение находится в диапазоне \( [-1, 1] \), поэтому данное уравнение имеет решения.

Общее решение уравнения \( \sin y = A \) имеет вид \( y = (-1)^n \arcsin A + \pi n \), где \( n \) — целое число.

В нашем случае \( y = \frac{x}{2} \) и \( A = \frac{-5 + \sqrt{41}}{4} \).

\[ \frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{-5 + \sqrt{41}}{4}\right) + \pi n \]

Умножим обе части на 2:

\[ x = 2(-1)^n \arcsin\left(\frac{-5 + \sqrt{41}}{4}\right) + 2\pi n \]

Ответ: \( x = 2(-1)^n \arcsin\left(\frac{-5 + \sqrt{41}}{4}\right) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)