12) (1 балл) В прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁B₁C₁D₁ известно, что АС₁ = 13, C₁D₁ = 3, B₁C₁ = 12. Найдите длину ребра АА₁

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде все грани — прямоугольники. Следовательно, \( ∥ C_1 D_1 B_1 C_1 = 90^℅ \). Треугольник \( △ C_1 D_1 B_1 \) — прямоугольный.

В прямоугольном параллелепипеде \( AD = B_1C_1 = 12 \) и \( CD = A_1D_1 = 3 \).

Диагональ \( AC_1 \) прямоугольного параллелепипеда связана с его измерениями \( a, b, c \) (длиной, шириной, высотой) формулой \( d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \).

В нашем случае, \( AC_1 \) — это диагональ, \( C_1D_1 \) — это одна из сторон (например, ширина \( a = 3 \)), \( B_1C_1 \) — другая сторона (длина \( b = 12 \)), а \( AA_1 \) — высота \( c \).

По теореме Пифагора для прямоугольного параллелепипеда:

\[ AC_1^2 = C_1D_1^2 + B_1C_1^2 + AA_1^2 \]

\[ 13^2 = 3^2 + 12^2 + AA_1^2 \]

\[ 169 = 9 + 144 + AA_1^2 \]

\[ 169 = 153 + AA_1^2 \]

\[ AA_1^2 = 169 - 153 \]

\[ AA_1^2 = 16 \]

\[ AA_1 = \sqrt{16} = 4 \]

Ответ: \( 4 \).