11 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы со стороной основания 30 см, налили воду. Высота уровня воды равна 90 см. Воду перелили в другой сосуд такой же формы, в результате чего высота уровня воды стала равна 40 см. Найдите длину (в см) стороны основания второго сосуда.

Решение:

1. Объем воды в первом сосуде равен произведению площади основания на высоту: \( V = S_1 \cdot h_1 \).
2. Площадь правильного треугольника со стороной a равна \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).
3. Площадь основания первого сосуда: \( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 30^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 900 = 225\sqrt{3} \) см².
4. Объем воды: \( V = 225\sqrt{3} \cdot 90 = 20250\sqrt{3} \) см³.
5. Объем воды во втором сосуде равен тому же значению, но высота там h₂ = 40 см.
6. Площадь основания второго сосуда: \( S_2 = \frac{V}{h_2} = \frac{20250\sqrt{3}}{40} = \frac{2025\sqrt{3}}{4} \) см².
7. Так как второй сосуд имеет ту же форму, его основание — правильный треугольник со стороной a₂.
8. Площадь его основания: \( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_2^2 \).
9. Приравниваем выражения для \( S_2 \): \( \frac{\sqrt{3}}{4} a_2^2 = \frac{2025\sqrt{3}}{4} \).
10. Сокращаем \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) с обеих сторон: \( a_2^2 = 2025 \).
11. Находим сторону a₂: \( a_2 = \sqrt{2025} = 45 \) см.

Ответ: 45