11 От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)? Ответ:

Решение:

Изначально у куба 8 вершин.

Когда мы отпиливаем каждую вершину куба, каждая вершина заменяется новой гранью (треугольной). При отпиливании одной вершины, мы как бы срезаем её, и место среза становится новой вершиной многогранника.

У куба 8 вершин. Каждая вершина куба представляет собой точку, где сходятся 3 ребра.

Когда мы отпиливаем одну вершину, мы делаем срез, который образует новую грань. На месте старой вершины появляются 3 новых вершины, по одной на каждом ребре, которое ранее сходилось в этой вершине. Нет, это не совсем так.

Представьте себе одну вершину куба. К ней сходятся 3 ребра. Когда мы отпиливаем эту вершину, мы как бы срезаем её. Новый срез будет иметь форму треугольника (если срез проходит через середины ребер, или просто треугольника). Количество вершин многогранника будет равно количеству вершин исходного куба плюс количество новых вершин, образованных при отпиливании.

Проще посчитать так: У куба 8 вершин. Каждую вершину мы срезаем. При срезании каждой вершины, мы как бы заменяем одну вершину на три новые. Но это неверно. Давайте мыслить по-другому.

У куба 8 вершин. Каждая вершина является точкой пересечения трёх рёбер. Когда мы отпиливаем вершину, мы как бы заменяем её на новую грань. На месте каждой старой вершины появляется новая грань (треугольная). При этом, каждая из трёх граней, которые сходились в старой вершине, теперь имеет новый край.

Давайте посмотрим на рисунок. У исходного куба было 8 вершин. Когда отпилили все вершины, каждая вершина была срезана. На месте каждой из 8 вершин куба, образовалось новое ребро и новая грань. Количество вершин увеличилось.

У куба 8 вершин. Каждая вершина имеет 3 ребра, выходящих из нее. Когда мы отпиливаем вершину, мы как бы срезаем её. У нас получается новая грань (например, треугольник). Если срез проходит через середины рёбер, то из каждой вершины куба выходит 3 новых ребра, каждое из которых ведёт к новой вершине.

Правильный способ рассуждения:

Изначально у куба 8 вершин.

У каждой вершины куба сходятся 3 ребра. Когда мы отпиливаем вершину, мы создаем новую грань. Эта новая грань будет иметь столько вершин, сколько ребер выходило из исходной вершины. То есть, из каждой вершины куба выходило 3 ребра. При отпиливании каждой вершины, на месте этой вершины появляются 3 новые вершины (по одной на каждом из отпиленных рёбер).

Таким образом, каждая из 8 вершин куба заменяется тремя новыми вершинами. Новые вершины образуются на концах тех рёбер, которые были отпилены.

Если мы отпилим вершину, то на месте этой вершины появятся новые вершины. У куба 8 вершин. Каждая вершина «теряется», но на месте среза появляются новые вершины. Количество вершин увеличивается. Каждая вершина куба имеет 3 ребра. Когда мы срезаем вершину, мы как бы «отрезаем» её, и на месте этого среза образуется новая грань. Эта новая грань имеет 3 вершины. Эти 3 вершины являются новыми вершинами многогранника.

Так как у куба 8 вершин, и каждая вершина заменяется 3 новыми вершинами, то общее количество вершин будет 8 * 3 = 24.

Ответ: 24