11. Найдите первообразную функции f(x) = 6x² - 4x + 1, график которой проходит через начало координат

Решение:

Сначала найдем общую первообразную функции \( f(x) = 6x^2 - 4x + 1 \).

\( F(x) = \int (6x^2 - 4x + 1) dx = 6 \int x^2 dx - 4 \int x dx + \int 1 dx \)
\( F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \)
\( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C \)

График первообразной проходит через начало координат, значит, при \( x = 0 \) значение функции равно \( 0 \). Подставим это в выражение для \( F(x) \):

\( 0 = 2(0)^3 - 2(0)^2 + 0 + C \)
\( 0 = 0 - 0 + 0 + C \)
\( C = 0 \)

Следовательно, искомая первообразная:

\( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x \).

Ответ: \( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x \).