6. (2 балла) Найдите все первообразные функции: 1) f(x) = 5x⁴ - \(\frac{2}{\sqrt{x}}\); 2) f(x) = 3 cos x - 4.

Решение:

1. 1) \( f(x) = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} = 5x^4 - 2x^{-1/2} \)
   Используем правила интегрирования: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), \( \int C f(x) dx = C \int f(x) dx \), \( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \).

   \( F(x) = \int (5x^4 - 2x^{-1/2}) dx \)
   \[ F(x) = 5 \int x^4 dx - 2 \int x^{-1/2} dx \]
   \[ F(x) = 5 \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C \]
   \[ F(x) = 5 \frac{x^5}{5} - 2 \frac{x^{1/2}}{1/2} + C \]
   \[ F(x) = x^5 - 4x^{1/2} + C \]
   \[ F(x) = x^5 - 4\sqrt{x} + C \]

2. 2) \( f(x) = 3 \cos x - 4 \)
   Используем правила интегрирования: \( \int \cos x dx = \sin x + C \), \( \int C dx = Cx + C \).

   \( F(x) = \int (3 \cos x - 4) dx \)
   \[ F(x) = 3 \int \cos x dx - \int 4 dx \]
   \[ F(x) = 3 \sin x - 4x + C \]

Ответ: 1) \( F(x) = x^5 - 4\sqrt{x} + C \); 2) \( F(x) = 3 \sin x - 4x + C \).